રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાના સરેરાશ આયુષ્યની વ્યાખ્યા આપો અને તેનો ક્ષય અચળાંક અને અર્ધ-આયુષ્ય સાથેનો સંબંધ મેળવો.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું સરેરાશ આયુષ્ય એટલે તમામ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયસના આયુષ્યનો સરવાળો ભાગ્યા શરૂઆતમાં હાજર કુલ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા.
વૈકલ્પિક રીતે,તે સમયગાળો છે જે દરમિયાન રેડિયોએક્ટિવ તત્વના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તેની મૂળ સંખ્યાના $1/e$ ગણી થઈ જાય છે.
ધારો કે $\tau$ સરેરાશ આયુષ્ય છે. સરેરાશ આયુષ્ય અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N = N_0 e^{-\lambda t}$.
$dt$ સમયમાં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $dN = \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt$ છે.
તમામ $N_0$ ન્યુક્લિયસનું કુલ આયુષ્ય $\int_{0}^{\infty} t dN = \int_{0}^{\infty} t (\lambda N_0 e^{-\lambda t}) dt$ છે.
આમ,$\tau = \frac{1}{N_0} \int_{0}^{\infty} t \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt = \lambda \int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda^2}$.
તેથી,$\tau = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ હોવાથી,આપણને $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.44 T_{1/2}$ મળે છે.